EXP:Bestimmung der Wellenlaenge mit einem Gitter

Bei diesem Experiment wird die Wellenlänge eines Lasers mithilfe dessen Beugungsmusters hinter einem Gitter bestimmt. Hierbei werden zwei Methoden angewendet, um das Interferenzmuster zu vermessen. Einmal dient eine Wand als Projektionsfläche und das andere mal wird ein Kamerasensor verwendet.

Didaktischer Rahmen

Fachdidaktische Zielsetzung

Dieses Experiment fördert die Kommunikation in Bezug auf die Messwerterfassung bei physikalischen Experimenten. Schülerinnen und Schüler können die Messwerte und die Ergebnisse miteinander diskutieren und die Erkenntnis erlangen, dass man mit unterschiedlichen Messmethoden auf die gleichen Ergebnisse im Rahmen einer Fehlerrechnung kommen kann. Darüber hinaus können sie für sich die beiden Messmethoden bewerten und die Arbeitsweisen mit analogen und digitalen Messmitteln reflektieren.

Nötige Vorkenntnisse

Für das Verständnis dieses Versuchs sind die Grundlagen der Interferenz von Wellen wichtig. Darunter zählen neben dem Huygensschen Prinzip auch das Doppelspaltexperiment.

Mögliche Schülerschwierigkeiten

Da die Herleitung der Formel für die Lage der Maxima für Gitter und Doppelspalt identisch sind, dürfte es für die Schülerinnne und Schüler keine Schwierigkeiten geben, eine Formel für die Wellenlänge aufzustellen. Dennoch könnten die Nebenmaxima irrietieren, die beim Gitter auftreten und mit dem Zeigermodell erklärt werden können. Eine Erklärung der Nebenmaxima ist aber nicht Teil dieses Experiments.

Schülervorstellungen, die hier relevant werden

Schülerinnen und Schüler, die die Bildung eines Interferenzmusters nach einem Doppelspalt noch nicht versanden haben, könnten nach dem Lichtstrahlenmodell die Vermutung äußern, dass an der Wand und auf dem Kamerasensor jeweils ein Abbild des Gitters zu sehen sind.

Seitenansicht eines Versuchsaufbaus für ein "sauberes" Interferenzmusters eines Diodenlasers nach einem Gitter. Fotografiert und erstellt von Christian Mühlhuber.

Allgemein

Klassenstufe	Klasse 11/12
Kategorie	Wellenoptik
Einordnung in den Bildungsplan von BW	Kapitel, Abschnitt 3.4.5, 3.5.5 und 3.6.5

Klassifikation

Quantitativ/Qualitativ	Quantitativ
Demo-/Schülerexperiment	Demoexperiment
Unterrichtsphase	Erarbeitung
Einzelversuch/Versuchsreihe	Einzelversuch und Versuchsreihe

Versuchsanleitung

Benötigtes Material

Einfacher Aufbau

• Laserdiode
• Dia mit Gittermuster
• Spiegelreflexkamera Canon EOS 77D
• Neutraldichtefilter (ND-Filter)
• Messschieber

Zusätzlich beim komplexen Aufbau

• 3D-Axis NanoMax 300 Stage
• Linse mit f=30 mm
• Linse mit f=50 mm
• Schlitzblende mit z.B. 20 µm Breite
• verstellbare Blende

Versuchsaufbau

Generell sollten im Folgenden diese Videos zum Umgang mit den Bauteilen beachtet werden.

Grundsätzlich lässt sich dieser Versuch mit einem einfachen Aufbau durchführen, indem ein Gitter hinter einen abgeschwächten Laserstrahl gestellt wird. Bei Laserdioden treten aber häufig zu der Grundmode noch höhere Moden auf, womit das Interferenzbild nicht dem idealisierten Bild aus dem Lehrbuch entspricht. So kann durch einen einfachen Aufbau das Interferenzmuster auf dem nebenstehenden Bild aufgenommen werden. Aus dem Plot der Grauwerten für einen Schnitt durch die Maxima des Bildes lässt sich durchaus die Wellenlänge des Lasers bestimmen. Durch den folgenden Aufbau kann jedoch das Interferenzmuster klarer dargestellt werden.

Schritt 0

Beachte die Sicherheitshinweise im Umgang mit Laserstrahlung und stelle ein Warnschild auf. Verwende im Folgenden zum Justieren evtl. eine Laserschutzbrille.

Schritt 1

Schwäche den Laserstrahl mit einem ND-Filter (ND1.0, ND2.0 je nach Laserdiode) ab.

Schritt 2

Fokussiere den Laserstrahl mit einer Linse kurzer Brennweite (z.B. f=30 mm) auf eine Schlitzblende (z.B. 20 µm Breite). Hier kann die Verwendung eines NanoMax 300 Stage bei der Justierung des Lasers auf die Schlitzblende helfen.

Schritt 3

Weite das Interferenzmuster des Lasers nach der Schlitzblende mit einer Linse kurzer Brennweite auf (z.B. f= 50 mm).

Schritt 4

Verwende eine Blende, um höhrere Ordnungen des Einzelspaltinterferenzmusters auszublenden.

Schritt 5

Ziele mit dem Laserstrahl, der nur noch das 0. Maximum des Einzelspaltinterferenzmusters beinhalten sollte, auf das Gitter.

Schritt 6 (mit Kamera)

Stelle die Kamera ohne Objektiv auf einem Stativ auf. Justiere die Kamera nur im Live-View-Modus (-> Sicherheitshinweise)!

Schritt 6.1

Stelle bei ISO100 eine Verschlusszeit ein, mit der die Aufnahme in den Maxmima nicht überbelichtet wird. Hier kann die Bildvergrößerungsfunktion der Kamera helfen. Achte auf weiße Stellen in den Maxima, die auf eine Überbelichtung hinweisen.

Schritt 7 (ohne Kamera)

Projiziere das Interferenzmuster des Lasers an eine Wand.

Interferenzmusters eines Diodenlasers nach einem Gitter mit 5 Spalten nur mit Abschwächung durch ND-Filter.

Interferenzmusters eines Diodenlasers nach einem Gitter mit 5 Spalten nur mit Abschwächung durch ND-Filter.

Draufsicht eines Versuchsaufbaus für ein "sauberes" Interferenzmusters eines Diodenlasers nach einem Gitter.

Versuchsdurchführung

Bei der Versuchsduchführung müssen die Hinweise im Umgang mit Laserstrahlung beachtet werden. Des Weiteren ist darauf zu achten, dass die Aufnahme in der Kamera nicht überbelichtet wird, was durch eine Kontrolle im Live-View-Modus möglich ist. Bei einer Abschwächung des Laserstrahls mit einem ND2.0 Filter direkt am Laser konnte eine Verschlusszeit von 1/4000 s bis 1/2000 s verwendet werden. Die Kombination aus Filterstärke und Verschlusszeit kann jedoch variieren. Auf jeden Fall sollte jedoch die Intensität des Lasers auf ein Minimum reduziert werden, um eine Beschädigung des Kamerasensors zu vermeiden.

Die genauesten Messdaten erhält man bei der Verwendung des RAW-Formats bei der Aufnahmen, da bei diesem Format die Kamera keine Softwarekorrekturen wie Kontrastanpassungen und etc. anwendet. Ist man nur an den Positionen der Maxima interessiert, die für die Berechnung der Wellenlänge notwendig ist, kann auch das JPEG-Format verwendet werden. Auf jeden Fall sollte jedoch die größtmögliche Auflösung gewählt werden, was zum Beispiel bei der Canon EOS 77D 6000x4000 Pixel sind. Mit dieser Auflösung ist die Bestimmung der Positionen der Maxima über die Pixelbreite von 3,7 µm am einfachsten.

Messwerte

Der Abstand $a$ zwischen Dia und Sensorebene wurde mit 2259 mm gemessen. Die mit einem Messschieber gemessenen Abstände der Maxima zum 0. Maximum sind in der untenstehenden Tabelle angegeben.

Messwerttabelle

Ordnung	Abstand vom 0. Maximum (mm)	Ordnung	Abstand vom 0. Maximum (mm)
-9	42,3	9	42,5
-8	37,6	8	38,2
-7	32,9	7	33,2
-6	27,8	6	28,4
-5	23,3	5	23,5
-4	18,6	4	18,8
-3	13,8	3	14
-2	8,9	2	9,5
-1	4,5	1	4,4

Messwerte (Kamera)

Der Abstand $a$ zwischen Dia und Sensorebene wird mit 1233 mm gemessen. Die mit ImageJ ausgelesenen Positionen der Maxima werden in der Messwerttabelle angegeben, wobei dort auch die Abstände $d_{k}$ der einzelnen Maxima zum 0. Maximum einerseits in Pixel, aber auch mit der Pixelbreite von 3,7 µm multipliziert, angegeben werden.

Messwerttabelle (Kamera)

Ordnung der Maxima	Position der Maxima	Abstand vom 0. Maximum (Pixel)	Abstand vom 0. Maximum (mm)
-4	254	2745	10,1565
-3	949	2050	7,585
-2	1611	1388	5,1356
-1	2321	678	2,5086
0	2999	0	0
1	3690	691	2,5567
2	4376	1377	5,0949
3	5045	2046	7,5702
4	5732	2733	10,1121

Interferenzmuster eines Lasers hinter einem Gitter mit 5 Spalten.

Grauwerte des Interferenzmusters eines Lasers hinter einem Gitter mit 5 Spalten.

Auswertung

Der Spaltabstand wird mit $g$, der Abstand vom 0. bis zum k. Maximum wird mit $d_{k}$ und der Abstand von der Bildebene zum Gitter wird mit $a$ bezeichnet. Für den Gangunterschied der Wellen, die sich im k-ten Maximum konstruktiv überlagern, gilt:

$\Delta s=k\cdot \lambda \quad (1).$

Über den geometrischen Zusammenhang im rechtwinkligen Dreieck ergeben sich:

$\tan(\alpha _{k})={\frac {d_{k}}{a}}\quad (2)\qquad {\text{und}}\qquad \sin(\alpha _{k})={\frac {\Delta s}{g}}\quad (3).$

Unter der Berücksichtigung der Kleinwinkelnäherung $\left(\sin(\alpha _{k})\approx \tan(\alpha _{k})\right)$ und durch Einsetzen von Gleichung (1) erhält man eine Gleichung für die Wellenlänge:

$\lambda ={\frac {g\cdot d_{k}}{k\cdot a}}\quad (4).$

Falls die Kleinwinkelnäherung nicht mehr angewendet werden kann, kann verwendet werden, dass

$\sin(\alpha _{k})={\frac {d_{k}}{\sqrt {d_{k}^{2}+a^{2}}}}\quad (5).$

Durch Gleichsetzen der Gleichungen (3) und (5) und Einsetzen der Gleichung (1) ergibt sich schließlich:

$\lambda ={\frac {g\cdot d_{k}}{k\cdot {\sqrt {d_{k}^{2}+a^{2}}}}}\quad (6).$

Für die Messmethode mit der Kamera ergibt zum Beispiel der Messwert der -4. Ordnung eingesetzt in Gleichung (4) eine Wellenlänge von 514,8 nm. Die Messung mit dem Messschieber und dem Messwert der -9. Ordnung ergibt mit Gleichung (4) eine Wellenlänge von 520,1 nm.

Laserspektrum eines grünen Diodenlasers aufgenommen mit dem THORLABS Compact CCD Spectrometer CCS100.

Fehlerabschätzung

Für die Fehlerabschätzung wird die Methode der Fehlerfortpflanzung verwendet, wobei für die gemessenen Größen für die Messmethode mit der Kamera $a$ und $d_{k}$ die Größtfehler von $\Delta a$ = 5 mm und $\Delta d_{k}$ = 74 µm angenommen werden. $\Delta d_{k}$ = 74 µm entsprechen hierbei 20 Pixel auf dem Sensor, was großzügig wegen des Ablesens der Maximapositionen von Hand gewählt wurde, um einen Fit der Intensitätsmaxima zu vermeiden. Der Größtfehler von $\Delta a$ = 5 mm ergibt sich durch die Abstandsmessung zwischen Dia und Sensorebene, wobei mit dem Maßband nicht direkt auf den Sensor, sondern nur bis an die Sensorebenenmarkierung an der Kamera gemessen werden konnte. Für die Messmethode mit dem Messschieber werden die Größtfehler von $\Delta a$ = 5 mm und $\Delta d_{k}$ = 0,6 mm angenommen, wobei $\Delta d_{k}$= 0,6 mm die größte Differenz der jeweiligen Maximapaare vom 0. Maximum sind.

Nach der Größtfehlerabschätzung berechnet sich für Gleichung (4) der Fehler für die Wellenlänge mit:

$\Delta \lambda ={\frac {\partial \lambda }{\partial d_{k}}}\cdot \Delta d_{k}+{\frac {\partial \lambda }{\partial a}}\cdot \Delta a={\frac {g}{k\cdot a}}\cdot \Delta d_{k}+{\frac {g\cdot d_{k}}{k\cdot a^{2}}}\cdot \Delta a$

Für das Maximum der -4. Ordnung, aus dem für den Laser mit der Kamera eine Wellenlänge von 514,8 nm berechnet wurde, ergibt sich somit ein Fehler von 5,8 nm, womit die Wellenlänge des Lasers angegeben werden kann mit (515 ± 6) nm. Bei der Messung mit dem Messschieber ergibt sich nach gleicher Rechnung ein Fehler von 8,5 nm, weshalb hier die Wellenlänge des Lasers mit (520 ± 9) nm angegeben werden kann.

Die Untersuchung des Laserstrahls mit einem Spektrometer, welche im nebenstehenden Bild zu sehen ist, ergibt eine Schwerpunktwellenlänge von 517,1 nm, womit die Messwerte der beiden Messmethoden im Fehlerbereich liegen.

Mögliche Probleme und ihre Lösungen

Variabler ND-Filter

Bei diesem Versuch muss bei der Verwendung einer Kamera auf jeden Fall die Intensität des Lasers durch ND-Filter reduziert werden, da ansonsten die Aufnahme in der Kamera überbelichtet wird. Bei der Durchführung wurde ein variabler ND-Filter über einen Adapter vor der Kamera verwendet, der jedoch aus zwei verdrehbare zueinander gelagerten Polfiltern besteht. Ein solcher variabler ND-Filter besitzt also auch einen Polfiltereffekt, der sich u.a. durch stärkere Kontraste in der Aufnahme auszeichnet. Des Weiteren wirken die Polfilter selbst wie Gitter, sodass das Interferenzmuster des ersten Gitters mit einem zweiten Interferenzmuster überlagert wird. Vergleicht man den Intensitätsverlauf aus dem Messwerte-Kapitel und das nebenstehende Bild, das mit einem reflektierenden ND-Filter direkt hinter dem Laser aufgenommen wurde, so sind die Auswirkungen des variablen ND-Filters deutlich zu erkennen. Die Lösung besteht hier also darin, die Intensität des Laserstrahls durch einen absorbierenden oder reflektierenden ND-Filter abzuschwächen.

Interferenzmuster eines Lasers hinter einem Gitter mit 5 Spalten ohne variablen ND-Filter.

Intensitätsverlauf eines Interferenzmusters eines Lasers hinter einem Gitter mit 5 Spalten ohne variablen ND-Filter.

Sicherheitshinweise

Es sind die Sicherheitshinweise für den Umgang mit Laserstrahlung zu beachten.

• Laserstrahlung

Sollten Sie eine Spiegelreflexkamera zur Detektion des Interferenzmusters verwenden, schauen Sie zur Justierung der Kamera nicht durch den Sucher. Verwendung sie hierfür unbedingt den Live-View-Modus, um Schäden an Ihren Augen zu vermeiden!

Fotos

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      Draufsicht eines Versuchsaufbaus für ein "sauberes" Interferenzmusters eines Diodenlasers nach einem Gitter.
  

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       Seitenansicht eines Versuchsaufbaus für ein "sauberes" Interferenzmusters eines Diodenlasers nach einem Gitter.
  

Literatur

Universität Stuttgart, 5. Physikalisches Institut, AG Physik und ihre Didaktik, lizenziert unter CC BY-NC-SA 4.0