Quelltext der Seite Brennweitenbestimmung bei einer Sammellinse

[[Kategorie:Optik]]

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Mit diesem Experiment soll die Brennweite <math>f</math> einer unbekannten Sammellinse mithilfe dreier verschiedener Möglichkeiten bestimmt werden. Zuerst wird die Brennweite mit einer Freihandmethode bestimmt. Dabei wird die Linse in mglichst paralleles Licht gehalten und die Brennebene bestimmt. Im zweiten Schritt werden für verschiedene Bildweiten <math>b</math> die Gegenstandsweiten <math>g</math> bestimmt und mithilfe der Linsengleichung <math>\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}</math> dann die Brennweite <math>f</math> berechnet. Und im letzten Schritt wird das Besselverfahren genutzt um die Brennweite der Sammellinse zu bestimmen. Die Ergebnisse dieser drei Möglichkeiten werden dann verglichen.

__INHALTSVERZEICHNIS__

= Theoretische Zusammenfassung =

Strahlt man mit einem parallelen Lichtbündel auf eine Sammellinse so wird das gesamte Licht hinter der Sammellinse im ''Brennpunkt'' <math>F</math> vereint. Strahlt man mit dem parallelen Lichtbündel in einem Winkel auf die Sammellinse so wird auch dieses Licht in einem Punkt gebündelt. All diese Punkt befinden sich in einer Ebene, die durch den Brennpunkt verläuft und orthogonal zur optischen Achse verläuft. Diese wird ''Brennebene'' genannt.<br>

Wird eine Sammellinse zur optischen Abbildung eines Gegenstandes genutzt so wird der Abstand zwischen dem Gegenstand und der Linsenebene als Gegenstandsweite <math>g</math> bezeichnet. Der Gegenstand selbst hat dabei die Gegenstandsgröße <math>G</math>. Der Abstand zwischen der Linsenebene und der Bildebene wird analog als Bildweite <math>b</math> bezeichnet. Das Bild hat dabei die Bildgröße <math>B</math>. Mithilfe der Linsengleichung <math>\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}</math> lässt sich aus der Gegenstandsweite und der Bildweite die Brennweite einer Linse berechnen. Trägt man die Wertepaare aus der Gegenstandsweite und der Bildweite in ein b-g-Diagramm jeweils an den Achsen ein und verbindet diese Schnittpunkte miteinander, so ergibt sich ein Schnittpunkt aller Verbindungslinien. Dieser Punkt hat die Koordinaten der Brennweite der Linse. Die einzelnen Verbindungslinien können mit der Gleichung:

<math>
y(x) = -\frac{g_i}{b_i} \cdot x + g_i = -g_i \cdot \left(\frac{1}{f} - \frac{1}{g_i}\right) \cdot x + g_i = \left(1 - \frac{g_i}{f}\right) \cdot x + g_i
</math>

beschrieben werden. Werden nun die Gleichungen des i-ten und des j-ten Wertepaares gleichgesetzt, ergibt sich:

<math>
\left(1 - \frac{g_i}{f}\right) \cdot x + g_i = \left(1 - \frac{g_j}{f}\right) \cdot x + g_j
</math>

<math>
\frac{g_j - g_i}{f} \cdot x = g_j - g_i
</math>

<math>
x = f.
</math>

Auch die y-Koordinate des Schnittpunkts ergibt sich zu:

<math>
y(f) = \left(1 - \frac{g_i}{f}\right) \cdot f + g_i = f.
</math>

Der Schnittpunkt aller Verbindungslinien liegt also bei <math>(f|f)</math>.

Beim Besselverfahren wird nun ausgenutzt, dass bei der optischen Abbildung eines Gegenstandes mit einer Sammellinse es zwei Linsenpositionen gibt bei denen eine scharfe Abbildung auf einem Schirm entsteht. Bei der Linsenposition <math>P_1</math> entsteht ein vergrößertes Bild wärend in der Linsenposition <math>P_2</math> ein verkleinertes Bild entsteht. Damit dieser Effekt zu beobachten ist sollte der Abstand zwischen dem Gegenstand und des Schirms <math>a</math> größer gewählt werden als das vierfache der geschätzten Brennweite. Aus dem Abstand zwischen dem Gegenstand und dem Schirm <math>a</math> und dem Abstand der beiden Linsenpositionen <math>e</math> erhält man dann für dünne Linsen die Brennweite mit:

<math>
f = \frac{a^2-e^2}{4a}.
</math>

Gegenüber der Brennweitenbestimmung mit der Bildweite und der Gegenstandsweite muss beim Besselverfahren die genaue Lage der Linsenebene nicht bekannt sein. Es genügt die Position z.B. an einer Halterung abzulesen und daraus die Differenz zu bilden.

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[[Datei:EXP Optik Besselverfahren Versuchsaufbau.JPG|Beschreibung|1499px|thumb|center|Versuchsaufbau zur Bestimmung der Brennweite einer Sammellinse. Fotografin: Katharina Stütz. ]]
  </div>
  <div class="large-5 columns>
{| class="wikitable" style="margin: auto; width: 100%;"|
|+ Allgemein
|-
! style="width: 50%"|Klassenstufe
| Klasse 7/8
|-
! style="width: 50%"|Kategorie
| Optik
|-
! style="width: 50%"|Einordnung in den Bildungsplan von BW
| Kapitel, Abschnitt 3.2.2 (11)
|-
|}
{| class="wikitable" style="margin: auto; width: 100%"|
|+ Klassifikation
|-
! style="width: 50%"|Quantitativ/Qualitativ
| Quantitativ
|-
! style="width: 50%"|Demo-/Schülerexperiment
| Beides Möglich
|-
! style="width: 50%"|Unterrichtsphase
| Vertiefungsphase zum Thema Linsen
|-
! style="width: 50%"|Einzelversuch/Versuchsreihe
| Versuchsreihe
|-
|}
  </div>
  <div class="large-5 columns>
[[Datei:EXP Optik Sammellinse Brennweite Skizze.png|Beschreibung|1499px|thumb|center|Skizze zur optischen Abbildung an einer Sammellinse mit der Brennweite f, dem Brennpunkt F, der Bildweite b, der Bildgröße B, der Gegenstandsweite g und der Gegenstandsgröße G. Autorin: Katharina Stütz ]]
  </div>
  <div class="large-5 columns>
[[Datei:EXP_Optik_Besselverfahren_Brennweite_Skizze.png|Beschreibung|1499px|thumb|center|Skizze zum Besselverfahren zur Bestimmung der Brennweite einer Sammellinse. Autorin: Katharina Stütz ]]
  </div>
</div>

= Didaktischer Rahmen =

== Fachdidaktische Zielsetzung ==

Bei diesem Experiment sollen Schülerinnen und Schüler die Physik hinter einem Verfahren kennenlernen. Dazu sollen sie ihre vorhandenes Wissen zur Sammellinse
anwenden und so weiter vertiefen.

== Nötige Vorkenntnisse ==

Die Schülerinnen und Schüler sollten die Wirkung einer ''Sammellinse'' beschreiben können. Die Begriffe ''Brennweite'', ''Brennebene'' und ''Brennpunkt'' sollten bekannt sein. Sie sollten die Abbildungsgleichung und die Linsengleichung beherrschen. Der Verlauf von ausgezeichneten Strahlen an einer Sammellinse sollte den SuS bekannt sein. Für eine quantitative Bearbeitung werden aus der Mathematik der Umgang mit Äquivalenzumformungen und das Eintragen von Messdaten in ein Diagramm bekannt sein.

== Mögliche Schülerschwierigkeiten ==

* Bei diesem Experiment wird viel Vorwissen zusammengebracht. Das kann zu Schwierigkeiten beim Verständnis führen.
* Die Abbildung der Linse ist eher lichtschwach. Um das Ergebnis besser erkennen zu können sollte das Klassenzimmer etwas abgedunkelt werden.

== Schülervorstellungen, die hier relevant werden ==

Eine Schülervorstellung, die bei diesem Versuch zum Tragen kommen könnte, ist die des <q>Sehstrahls</q> bzw. die des <q>Lichts als ruhende Helligkeit</q>. Dabei gehen die SuS davon aus, dass es keine Streuung von Licht in unser Auge benötigt um etwas sehen zu können. Beim Sehstrahl-Konzept gehen die SuS davon aus, dass ein aktives Hinsehen genügt um etwas sehen zu können. Dass dafür Licht am Gegenstand in unser Auge gestreut werden muss wird nicht akzeptiert. Das Konzept der ruhenden Helligkeit besagt, dass der Raum mit einem substanzartigen Licht gefüllt ist. Ein Ausbreitungsvorgang von der Quelle aus wird nicht benötigt.<ref>Schecker, Horst; Wilhelm, Thomas; Hopf, Martin; Duit Reinders (Hrsg.) (2018): Schülervorstellungen und Physikunterricht. Berlin: Springer-Verlag GmbH</ref>

= Versuchsanleitung =

== Benötigtes Material ==

* Experimentierleuchte mit Netzgerät und Kaltgerätekabel
* Diffusorschirm
* Dia mit abgebildetem Buchstaben
* Sammellinse mit unbekannter Brennweite (hier wurde eine Sammellinse mit einer Brennweite von <math>f=7\,</math>cm verwendet)
* Schirm
* optische Bank
* Maßband bzw. Meterstab

== Versuchsaufbau ==

Für das Experiment zur Freihandmethode muss nichts großes aufgebaut werden. Es wird nur die Linse, ein Schirm und ein Maßband benötigt.<br>
Für die anderen beiden Messmethoden wird ein identischer Aufbau verwendet. Auf eine optische Bank wird zunächst am linken Ende eine Experimentierleuchte befestigt. Direkt davor wird ein Diffusorschirm platziert um das nachfolgende Dia möglichst diffus ausleuchten zu können. Der Schirm und die Linse werden ebenfalls mithilfe optischer Reiter auf der optischen Bank platziert.

== Versuchsdurchführung == 

; Freihandmethode

Um nun ohne einen großen Versuchsaufbau die Brennweite einer Sammellinse abschätzen zu können benötigt man nahezu paralleles Licht, dass dann mithilfe der Linse in die Brennebene abgebildet wird. Dazu kann in erster Näherung das Licht verwendet werden, dass draußen von einem weit entfernten Gebäude reflektiert wird. Bildet man nun das Licht des Gebäudes scharf auf einen Schirm ab kann der Abstand zwischen der Linseneben und des Schirms grob als Brennweite der Linse bestimmt werden. Es sollte nicht das Licht der Sonne direkt mit der Linse auf einen Schirm scharf abgebildet werden. In diesem Punkt wird es dann sehr heiß was zu Verbrennungen führen kann.

; Bestimmung der Gegenstands- und Bildweite

Für die Bestimmung der Brennweite der unbekannten Linse mittels Gegenstandsweite <math>g</math> und Bildweite <math>b</math>, wird der Versuch wie in Abbildung 1 aufgebaut. Auf einer 2&thinsp;m langen optischen Bank befindet sich eine Experimentierleuchte und ein Diffusorschirm. Daneben wird ein Dia mit einem Buchstaben beleuchtet, der den Gegenstand darstellt. Am anderen Ende der Bank wird der Schirm aufgebaut. Zwischen dem Dia und dem Schirm wird die Linse aufgestellt. Es werden fünf verschiedene Gegenstandsweiten eingestellt. Dafür bleibt das Dia an einer festen Position und die Linsenposition wird für jede neue Messung verändert. Anschließend wird die Position des Schirms so verschoben, bis der Buchstabe auf dem Dia scharf auf dem Schirm zu sehen ist. Die Gegenstandsweiten und die zugehörigen Bildweiten werden jeweils gemessen und notiert.

; Besselverfahren

Der Aufbau ist identisch zum oben beschriebenen Aufbau beim Verfahren zur Bestimmung der Brennweite mittels Gegenstands- und Bildweite. Das Dia mit dem Buchstaben und der Schirm müssen dem Vierfachen der Brennweite der Linse entsprechen. Dazu sollte diese zuvor mit der Freihandmethode grob agbeschätzt werden. Hier werden daher als Abstand zwischen dem Dia und dem Schirm 32&thinsp;cm eingestellt. Dazwischen wird die Linse auf der Bank verschoben, bis ein scharfes vergößertes und ein scharfes verkleinertes Bild auf dem Schirm zu sehen ist. Die beiden Linsenpositionen werden notiert. Die Linse wird dann mehrfach zwischen den beiden Positionen hin und her verschoben und jeweils die Positionen notiert.

== Auswertung ==

; Freihandmethode:

Mithilfe der Freihandmethode wurde eine Brennweite der Linse von 6,8&thinsp;cm gemessen.

; Bestimmung der Gegenstands- und Bildweite

Es werden jeweils fünf Gegenstands- und Bildweiten gemessen und in Tabelle 1 dargestellt. Daraus lässt dich die Brennweite der Sammellinse mihilfe der Linsengleichung berechnen.

<div class="row">
  <div class="large-7 columns>
{| class="wikitable" style="margin: auto; width: 100%"|
|+ Messwerte und berechnete Werte mit den Gegenstands- und Bildweiten.
|-
! Gegenstandsweite g (cm)
! Bildweite b (cm)
! Brennweite f (cm)
|-
| 14,0
| 13,5
| 6,87
|-
| 16,0
| 12,4
| 6,98
|-
| 18,0
| 11,3
| 6,94
|-
| 20,0
| 10,4
| 6,84
|-
| 22,0
| 9,8
| 6,78
|-
|}
  </div>
  <div class="large-5 columns>
[[Datei:EXP_Optik_Auswertung_Brennweite.JPG|Beschreibung|1499px|thumb|center|Auswertung der Messung der Brennweite einer Sammellinse. Autorin: Katharina Stütz ]]
  </div>
</div>

Daraus ergibt sich ein Mittelwert der Brennweite von 6,882&thinsp;cm.

; Besselverfahren

Für immer den gleichen Abstand zwischen dem Gegenstand und dem Schirm <math>a</math> von 32&thinsp;cm haben sich die folgenden Abstände für die Linsenpositionen 1 und 2 vom Gegenstand ergeben. Damit lässt sich dann mit der oben dargestellten Formel die Brennweite berechnen.

{| class="wikitable" style="margin: auto; width: 100%"|
|+ Messwerte und berechnete Werte mit dem Besselverfahren.
|-
! Abstand zu P1 (cm)
! Abstand zu P2 (cm)
! Abstand zwischen P1 und P2 (cm)
! Brennweite f (cm)
|-
| 7,9
| 19,4
| 11,5
| 6,97
|-
| 8,0
| 19,3
| 11,3
| 7,00
|-
| 7,6
| 19,8
| 12,2
| 6,84
|-
| 8,5
| 20,4
| 11,9
| 6,89
|-
| 7,8
| 20,1
| 12,3
| 6,81
|-
|}

Damit ergibt sich mit dem Besselverfahren eine mittlere Brennweite von 6,902&thinsp;cm.

<div class="row">
  <div class="large-6 columns>
[[Datei:EXP_Optik_Besselverfahren_Position1.JPG|Beschreibung|800px|thumb|center|Position 1 der Linse beim Besselverfahren zur Bestimmung der Brennweite einer Sammellinse. Fotografin: Katharina Stütz ]]
  </div>
  <div class="large-6 columns>
[[Datei:EXP_Optik_Besselverfahren_Position2.JPG|Beschreibung|800px|thumb|center|Position 2 der Linse beim Besselverfahren zur Bestimmung der Brennweite einer Sammellinse. Fotografin: Katharina Stütz ]]
  </div>
</div>

== Fehlerabschätzung ==

Die hauptsächliche Fehlerquelle liegt bei diesem Versuch am ungenauen Ablesen der Entfernungen am Meterstab. Außerdem wird bei allen drei Versuchen ein scharfes Bild nach Augenmaß eingestellt, dies ist ebenfalls ungenau und fehleranfällig. Des Weiteren unterliegt die angegebene Brennweite von 7&thinsp;cm der Sammellinse selbst einem Fehler.

<!-- == Mögliche Probleme und ihre Lösungen ==
Treten beim Experiment häufiger Fehler auf? Bitte beschreibe sie hier. -->
== Sicherheitshinweise ==
Verletzungsgefahr durch umkippende Versuchsaufbauten und sich lösende Teile (z.B. Schrauben nicht fest genug).

= Fotos =

<div class="row">
  <div class="large-4 large-centered columns">
<ul class="example-orbit" data-orbit>
  <li>
    [[Datei:EXP_Optik_Besselverfahren_Versuchsaufbau.JPG|slide 1]]
    <div class="orbit-caption">
     Versuchsaufbau zur Bestimmung der Brennweite einer Sammellinse. Fotografin: Lena Kühnast.
    </div>
  </li>
  <li>
    [[Datei:EXP_Optik_Sammellinse_Brennweite_Skizze.png|slide 2]]
    <div class="orbit-caption">
      Skizze zur optischen Abbildung an einer Sammellinse mit der Brennweite f, dem Brennpunkt F, der Bildweite b, der Bildgröße B, der Gegenstandsweite g und der Gegenstandsgröße G. Autorin: Katharina Stütz 
    </div>
  </li>
  <li>
    [[Datei:EXP_Optik_Besselverfahren_Brennweite_Skizze.png|slide 3]]
    <div class="orbit-caption">
      Skizze zum Besselverfahren zur Bestimmung der Brennweite einer Sammellinse. Autorin: Katharina Stütz 
    </div>
  </li>
  <li>
    [[Datei:EXP_Optik_Auswertung_Brennweite.JPG|slide 4]]
    <div class="orbit-caption">
      Auswertung der Messung der Brennweite einer Sammellinse. Autorin: Katharina Stütz 
    </div>
  </li>
</ul>
  </div>
</div>

= Literatur =
<references />

{|
https://i.creativecommons.org/l/by-nc-sa/3.0/de/88x31.png
Universität Stuttgart, 5. Physikalisches Institut, AG Physik und ihre Didaktik, lizenziert unter [https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.de CC BY-NC-SA 4.0]
|}