EXP:Akustische Dopplereffekt

Mithilfe dieses Experiments soll die Frequenzverschiebung beim akustischen Dopplereffekt quantitativ untersucht werden. Dabei soll die Frequenzverschiebung für den bewegten Sender und den bewegten Empfänger betrachtet werden. Genutzt wird dazu ein Fadenpendel, an dem nacheinander die Quelle und der Empfänger aufgehängt werden können. So kann elegant die Bewegung z.B. der Quelle zum Empfänger hin und vom Empfänger weg gleichzeitig untersucht werden. Ein zusätzlicher Vorteil ist, dass diese Bewegung gleich mehrfach untersucht werden kann. Allerdings muss beachtet werden, dass die Amplitude und damit auch die maximale Geschwindigkeit in der Gleichgewichtsposition mit der Zeit abnimmt.

Theoretische Zusammenfassung

Bei diesem Experiment schwingt entweder die Quelle oder der Empfänger an einem Fadenpendel hin und her. Damit bewegen sich Quelle und Empfänger harmonisch aufeinander zu und wieder voneinander weg. Zur Auswertung dieses Experiments wird jeweils der Umkehrpunkt im Fadenpendel mit der maximalen Geschwindigkeit betrachtet. Die Bewechnung der maximalen Geschwindigkeit aus der Energieerhaltung wird als Vergleich ebenfalls durchgeführt.

Die Quelle bewegt sich auf den Empfänger zu

Hier bewegt sich nun die Quelle $S$ mit der Geschwindigkeit $v_{S}$ auf den Empfänger zu. Dadurch wird die Wellenlänge $\lambda$ des Schalls mit der Frequenz $f$ um die Strecke $v_{S}\cdot T$ verkürzt. Mit $T$ wird dabei die Periodendauer der Tonfrequenz $f=1/T$ bezeichnet. Die eigentliche Schallwelle breitet sich in dieser Zeit $T$ um die Strecke $\lambda =c\cdot T$ in der gleichen Richtung aus. Mit einer Schallgeschwindigkeit von $c=343\,m/s$ bei einer Lufttemperatur von 20$^{\circ }$C. Damit gilt für die dann gemessene Wellenlänge: $\lambda '=c\cdot T-v_{S}\cdot T=(c-v_{S})\cdot T$. Für die wahrgenommene Frequenz gilt dann:

$f'={\frac {c}{\lambda '}}={\frac {c}{(c-v_{S})\cdot T}}=f\cdot {\frac {c}{c-v_{S}}}.$

Für $v_{S}>0$ ist $f'$ größer als $f$. Für die Geschwindigkeit des Senders gilt dann:

$v_{S}=c\cdot {\frac {f'-f}{f'}}.$

Kompletter Versuchsaufbau zum akustischen Dopplereffekt mit einem schwingenden Sender. Fotografin: Katharina Stütz

Allgemein

Klassenstufe	Klasse 11/12
Kategorie	Wellen
Einordnung in den Bildungsplan von BW	Kapitel, Abschnitt 3.4.4 (2)

Klassifikation

Quantitativ/Qualitativ	Quantitativ
Demo-/Schülerexperiment	Beides möglich
Unterrichtsphase	Erarbeitungsphase / Vertiefungsphase
Einzelversuch/Versuchsreihe	Versuchsreihe

Die Quelle bewegt sich vom Empfänger weg

Die Überlegungen sind hier fast identisch außer, dass sich diesmal die Wellenlänge des ausgesendeten Tons durch die Bewegung der Quelle um $v_{S}\cdot T$ verlängert. Es gilt dann für die gemessene Wellenlänge: $\lambda '=c\cdot T+v_{S}\cdot T=(c+v_{S})\cdot T$. Für die wahrgenommene Frequenz gilt dann:

$f'={\frac {c}{\lambda '}}=f\cdot {\frac {c}{c+v_{S}}}.$

Für $v_{S}>0$ ist $f'$ kleiner als $f$. Für die Geschwindigkeit des Senders gilt dann:

$v_{S}=c\cdot {\frac {f-f'}{f'}}.$

Der Empfänger bewegt sich auf die Quelle zu

Bewegt sich nun der Empfänger $E$ auf die Quelle zu so kommen die Schallwellen mit einer um die Bewegungsgeschwindigkeit $v_{E}$ erhöhten Schallgeschwindigkeit $c$ beim Empfänger an. Es gilt damit für die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schallwellen: $c' = c+v_E$. Und damit folgt für die wahrgenommene Frequenz:

$f'={\frac {c'}{\lambda }}={\frac {c+v_{E}}{\lambda }}=f\cdot {\frac {c+v_{E}}{c}}.$

Für $v_{S}>0$ ist $f'$ größer als $f$. Für die Geschwindigkeit des Empfängers gilt dann:

$v_{E}=c\cdot {\frac {f'-f}{f}}.$

Der Empfänger bewegt sich von der Quelle weg

Die Überlegungen sind hier fast identisch außer, dass sich diesmal die Ausbreitungsgeschwindigkeit durch das Entfernen des Empfängern um $v_{E}$ verkleinert. Es gilt damit für die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schallwellen: $c' = c-v_E$. Und damit folgt für die wahrgenommene Frequenz:

$f'={\frac {c'}{\lambda }}={\frac {c-v_{E}}{\lambda }}=f\cdot {\frac {c-v_{E}}{c}}.$

Für $v_{S}>0$ ist $f'$ kleiner als $f$. Für die Geschwindigkeit des Empfängers gilt dann:

$v_{E}=c\cdot {\frac {f-f'}{f}}.$

Berechnung der maximalen Geschwindigkeit aus der Energieerhaltung

Bei einem idealisierten mathematischen Pendel wird die potentielle Energie, die zu Beginn in das System gesteckt wird, komplett in kinetische Energie umgewandelt. Aus der Gleichsetzung dieser beiden Energieformen lässt sich dann eine Gleichung für die maximale Geschwindigkeit herleiten:

$E_{\text{Kin}}=E_{\text{Pot}}$

${\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v_{\text{max}}^{2}=m\cdot g\cdot h_{\text{max}}$

$v_{\text{max}}={\sqrt {2\cdot g\cdot h_{\text{max}}}}.$

Didaktischer Rahmen

Fachdidaktische Zielsetzung

Mithilfe dieses Demonstrationsexperiments kann ein physikalisches Gesetzes quantitativ geprüft werden. Zusätzlich wird hier die Grunderfahrung aufgebaut, dass sich beispielsweise der Ton eines vorbei fahrenden Rettungswagens oder Polizeiwagens mit eingeschalteter Sirene unterscheidet, je nachdem ob sich der Wagen nähert oder entfernt. Weiterhin bekommen die SuS einen Einblick in die Nutzung der Physik in Technik und Alltag, da sie die Anwendung des akustischen Dopplereffekts zur Geschwindigkeitsbestimmung erkennen.

Nötige Vorkenntnisse

Damit die SuS den Versuch komplett nachvollziehen können und auch die Auswertung selbstständig durchführen können müssen aus dem Bereich der Wellen die ersten Grundkenntnisse vorhanden sein. Sie sollten die Begriffe Wellenlänge, Ausbreitungsgeschwindigkeit und die Formel $c=\lambda \cdot f$ beherrschen. Aus dem Themengebiet der Schwingungen sollten die SuS die Energiebetrachtung am Fadenpendel kennen mit $E_{\text{kin}}=E_{\text{pot}}$. Die Herleitung der Geschwindigkeit im Umkehrpunkt aus dieser Gleichung sollten sie beherrschen.

Mögliche Schülerschwierigkeiten

• Die größten Schwierigkeiten haben die SuS hier beim Herleiten der beiden Formeln zur Frequenzverschiebung. Alternativ kann die Herleitung zusammen vorne an der Tafel gezeigt werden.
• Der Versuchsaufbau sollte vor Beginn der Auswertung einmal so gedreht werden, dass der Lautsprecher zu den SuS hin und zurück pendelt. Nur so ist der Dopplereffekt für alle SuS gut hörbar.
• Nutzt man eine größere Fadenlänge wird der Doppler-Effekt deutlicher hörbar. Die Auswertung wird genauer. Allerdings muss dann das Pendel an der Decke befestigt werden, da sonst der gesamte Aufbau mitschwingt.

Schülervorstellungen, die hier relevant werden

Eine hier zentrale Schülervorstellung ist die, dass sich Wellen als materielle Objekte ausbreiten. Diese würden dann auch, wenn zwei Wellenberge aufeinander treffen, voneinander abprallen. Gerade aber die Radarfalle würde so nicht funktionieren, da hier der Sender der Welle und der Empfänger sehr nah nebeneinander liegen.

Versuchsanleitung

Benötigtes Material

• 2 Stativstangen
• 3 Schnüre ca. 20 cm lang (2 zum Pendeln, 1 zum Lautsprecher befestigen)
• 2 Tischklemmen
• 2 Haken, um die Schnüre fest zu binden
• Lautsprecher mit Bluetooth
• 2 mobile Endgeräte mit der App PhyPhox
• Labor Hebebühne
• Meterstab
• Smartphone-Halterung für das Fadenpendel

Versuchsaufbau

Schwingender Sender

Für das Stativ werden zwei gleich große Stativstangen mit Stativfüßen auf den Tisch gestellt. Besser ist hier die Stativstangen über Tischklemmen direkt am Tisch zu befestigen. So schwingen die Stativstangen weniger mit. Mit zwei Muffen wird dann eine dritte Stange zwischen diesen beiden Stangen befestigt. Daran werden zwei Hakenmuffen befestigt. Mithilfe einer Schnur wird dann der Lautsprecher so aufgehängt, dass er sich nicht drehen kann und nur in einer Ebene schwingt. Auf der halben Höhe zwischen der Gleichgewichtslage und der größten Auslenkung des Pendels wird dann der Empfänger positioniert. Dazu kann eine Labor-Hebebühne verwendet werden.

Um einen Ton senden zu können wird der Lautsprecher mit einem Tablet per Bluetooth verbunden. Auf dem Tablet wird mithilfe der App PhyPhox ein Ton mit dem Tongenerator abgespielt. Zur Aufnahme der Frequenzverschiebung wird ein Smartphone mit der App PhyPhox und der Software Dopplereffekt verwendet. Diese gibt in einem weiteren Fenster auch direkt die Geschwindigkeit aus.

Schwingender Empfänger

Nun werden die Positionen vom Smartphone und dem Lautsprecher vertauscht und das Experiment dann erneut durchgeführt.

Schwingender Lautsprecher für den Versuch zum akustischen Lautsprecher. Fotografin: Katharina Stütz

Versuchsdurchführung

• Es muss die Starthöhe und die Höhe der Gleichgewichtsposition des Lautsprechers bzw. des Smartphones über dem Boden gemessen werden.
• Der Ton am Tongenerator sollte gestartet werden bevor die Messung gestartet wird.
• Hier wurde eine Grundfrequenz von 400 Hz, eine Frequenzspanne von 10,0 Hz, ein Zeitintervall von 50 ms und eine Schallgeschwindigkeit von 343,2 m/s als Einstellungen in die Software Dopplereffekt eingegeben.

Auswertung

Schwingender Sender

Für diesen Versuch schwingt der Lautsprecher mit einer Fadenlänge von 50 cm und einer maximalen Höhe von $h_{\text{max}}=10\,$cm. Der Sender sendet dabei eine Grundfrequenz von 400 Hz. Dabei werden alle 50 ms Messwerte aufgenommen. Da die Schwingung gedämpft ist nimmt die Amplitude und damit auch die Frequenzverschiebung mit der Zeit ab. Zur Auswertung werden daher die maximale und die minimale Frequenz der ersten Schwingung verwendet:

$f'_{\text{max}}=401,86\,Hz\quad f'_{\text{min}}=397,63\,Hz.$

Damit ergeben sich mit den oben hergeleiteten Formel die folgenden Geschwindigkeiten:

$v_{\text{S, max}}=c\cdot {\frac {f'_{\text{max}}-f}{f'_{\text{max}}}}=1,588\,{\frac {m}{s}}$

$v_{\text{S, min}}=c\cdot {\frac {f-f'_{\text{min}}}{f'_{\text{min}}}}=2,04\,{\frac {m}{s}}.$

Schwingender Empfänger

Auch der schwingende Empfänger schwingt mit einer Fadenlänge von 50 cm und einer maximalen Höhe von $h_{\text{max}}=10\,$cm. Hier wird eine Frequenz von 300 Hz verwendet. Auch hier werden zur Auswertung die erste maximale und die erste minimale Frequenz verwendet:

$f'_{\text{max}}=300,85\,Hz\quad f'_{\text{min}}=298,51\,Hz.$

Damit ergeben sich mit den oben hergeleiteten Formel die folgenden Geschwindigkeiten:

$v_{\text{S, max}}=c\cdot {\frac {f'_{\text{max}}-f}{f}}=0,9724\,{\frac {m}{s}}$

$v_{\text{S, min}}=c\cdot {\frac {f-f'_{\text{min}}}{f}}=1,70\,{\frac {m}{s}}.$

Betrachtung mithilfe der Energieerhaltung

Wollen wir die Geschwindigkeit mithilfe der Energieerhaltung berechnen nutzen wir die maximale Höhe $h_{\text{max}}=10\,$cm. Damit ergibt sich eine maximale Geschwindigkeit von:

$v_{max}={\sqrt {2\cdot g\cdot h_{\text{max}}}}=1,40\,{\frac {m}{s}}.$

Fehlerabschätzung

Setzt man die aus der Energieerhaltung berechnete Geschwindigkeit in die Formeln zur Frequenzverschiebung ein, so erhalten wir eine maximale Abweichung von 0,74 Hz.
Die größten Fehlerquellen werden hier (nach der Signifikanz geordnet)

• im ungenauen Ausmessen der Höhe,
• in der ungenauen Ausgabe der Grundfrequenz des Smartphones,
• in der zu kleinen Messfrequenz
• und in der Vernachlässigung des Luftwiderstandes

liegen.

Mögliche Probleme und ihre Lösungen

• Werden zu wenige Datenpunkt ausgenommen könnte in der App PhyPhoy in dem Programm Dopplereffekt das Zeitintervall zu niedrig eingestellt worden sein. Dieses gibt an in welchem zeitlichen Abstand Messdaten aufgezeichnet werden.
• Die Schwingung wird durch die Aufhängung und den Luftwiderstand recht stark gedämpft. Um genügend auswertbare Messpunkte aufnehmen zu können bietet sich eine höhere Grundfrequenz an.

Sicherheitshinweise

Es besteht eine akute Gefährdung durch umkippende Versuchsaufbauten und sich lösende Teile.

Fotos

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      Kompletter Versuchsaufbau zum akustischen Dopplereffekt mit einem schwingenden Sender. Fotografin: Katharina Stütz 
  

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       Schwingender Lautsprecher für den Versuch zum akustischen Lautsprecher. Fotografin: Katharina Stütz
  

Literatur

Universität Stuttgart, 5. Physikalisches Institut, AG Physik und ihre Didaktik, lizenziert unter CC BY-NC-SA 4.0