Mit diesem Experiment soll die vektorielle Addition im Zweidimensionalen (2D) von Kräften zu einer resultierenden Kraft veranschaulicht werden.

Theoretische Zusammenfassung

Um zwei Kraftvektoren zu addieren werden ihre Einträge einzeln addiert mit:

{\vec {F_{res}}}={\vec {F_{1}}}+{\vec {F_{2}}}=\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}y_{1}\\y_{2}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}x_{1}+y_{1}\\x_{2}+y_{2}\end{array}}\right)

.

Um die Länge eines Vektors zu erahlten wird der Betrag des Vektors gebildet mit:

F_{res}=|{\vec {F_{res}}}|={\sqrt {(x_{1}+y_{1})^{2}+(x_{2}+y_{2})^{2}}}.

Hat man alternativ die Längen der Vektoren ${\vec {F_{1}}}$ und ${\vec {F_{2}}}$ bereits bestimmt, so lässt sich aus ihren Längen die Länge der resultierenden Kraft berechnen mit:

F_{res}=|{\vec {F_{res}}}|={\sqrt {F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+2\cdot F_{1}\cdot F_{2}\cdot \cos(\alpha )}}.

Dabei beschreibt $\alpha$ den Winkel zwischen den beiden zu addierenden Kräften. Einen Sonderfall der Vektoraddition stellt der Winkel $\alpha =90^{\circ }$ dar. Dabei vereinfacht sich die Formel mit $\cos(90^{\circ })=1$ zu:

F_{res}={\sqrt {F_{1}^{2}+F_{2}^{2}}}

Dies kann auch ohne Einführen der vorherigen Formel durch Anwendung des Satz von Pythagoras gezeigt werden.

Eine Alternative zu dieser Berechnung stellt das Zeichnen eines Kräfteparallelograms dar. Dabei werden die beiden Kräfte ${\vec {F_{1}}}$ und ${\vec {F_{2}}}$ mit dem Winkel $\alpha$ zwischen Ihnen auf ein Blatt Papier gezeichnet. Dann wird einer der beiden Kraftvektoren so parallel entlang des anderen Vektors verschoben bis sein Anfangspunkt mit dem Endpunkt des anderen Vektors zusammen fällt. Der Verbindungsvektor ersten Anfangspunkt bis zum letzten Endpunkt stellt dann die resultierende Kraft dar. Der Betrag der resultierenden Kraft kann dann mit dem Lineal gemessen werden. So kann die resultierende Kraft mit Betrag und Richtung auch für andere Winkel bestimmt werden.

Didaktischer Rahmen

Fachdidaktische Zielsetzung

Mit diesem Experiment soll den SuS die Addition von Kräften zu einer resultierenden Kraft nähergebracht werden. Die SuS sollen hier genau beobachten was passiert und ihre Beobachtung beschreiben. Hier können die SuS direkt den Bezug zwischen einem realen Experiment und der konstruierten, idealisierten Modellvorstellung herstellen.

Versuchsaufbau mit Massestücken.

Allgemein
Klassenstufe	Klasse 9/10
Kategorie	Mechanik: Dynamik
Einordnung in den Bildungsplan von BW	Kapitel, Abschnitt 3.3.5.2 (1)

Klassifikation
Quantitativ/Qualitativ	Quantitativ für 90°. Sonst qualitativ.
Demo-/Schülerexperiment	Demoexperiment
Unterrichtsphase	Erarbeitungsphase
Einzelversuch/Versuchsreihe	Versuchsreihe

Versuchsaufbau mit Federkraftmessern.

Nötige Vorkenntnisse

Damit dieses Experiment sinnvoll im Unterricht eingesetzt werden kann muss der Kraftbegriff im Unterricht bereits eingeführt worden sein. Den SuS muss bereits in einem ersten Schritt erklärt worden sein, dass Kräft einen Betrag und eine Richtung besitzen. Das wird bei diesem Experiment weiter vertieft. Es ist für das Verständnis außerdem hilfreich, wenn die SuS die Addition von Impulsen bereits verstanden haben. Dann kann darauf aufgebaut werden. Um die beiden Versuchsaufbauten verstehen zu können müssen die SuS verstanden haben wie Umlenkrollen und Federkraftmesser funktionieren. Um die Länge der resultierenden Kraft berechnen zu können muss der Satz des Pythagoras aus dem Mathematikunterricht bekannt sein.

Mögliche Schülerschwierigkeiten

Die resultierende Kraft der beiden Ausgangskräfte zeigt bei diesem Experiment in die entgegengesetzte Richtung. Eine Skizze und die Argumentation über das dritte Newtonsche Axiom können dabei helfen.
Bei diesem Experiment ist die Skala der Federkraftmesser nur schwer für die SuS zu erkennen. Es muss also bei der Auswahl der Federkraftmesser auf eine möglichst einfach zu lesende Skala geachtet werden.
Auch die Massen der verwendeten Massestücke ist von weit weg nur schwer zu erkennen. Es bietet sich daher an identische Massestücke zu verwenden und die Einzelmasse anzugeben.
Der Winkel zwischen den beiden Seilen ist für die SuS nicht zu erkennen. Es sollte daher ein ausführliches Tafelbild dazu erstellt werden.

Schülervorstellungen, die hier relevant werden

Die hier zentral relevante Schülervorstellung ist die der stärkeren Kraft. Dabei gehen die SuS davon aus, dass wenn zwei oder mehr Kräfte an einem Körper gleichzeitig angreifen, immer die stärkste gewinnt. Diese Kräfte können auch aufgebraucht werden, sodass nach einer gewissen Zeit eine andere Kraft die Führung übernimmt. Diese Vorstellung wird insoweit problematisch, dass die SuS nicht verstehen könnten, warum sich der Ring in der Mitte des Experiments nicht bewegt. Dieser Versuch kann daher zur Konfrontation mit dieser Vorstellung verwendet werden.^[1]

Versuchsanleitung

Benötigtes Material

2x Stativmüße
4x Stativstangen
3x Muffe
3x Hakenklemme
1x Eisenring

Aufbau mit Massestücken:

12x Massestück (50 g)
2x Umlenkrolle
Faden

Aufbau mit Federkraftmessern:

3x Federkraftmesser (3 N)

Versuchsaufbau

Schritt 1: Das Grundgerüst ist bei den beiden Aufbauten gleich. Es besteht aus zwei langen Stativstangen, welche an passende Stativmüße geschraubt werden. Zur Befestigung der Verbindungsstange, wird diese durch zwei Eckmuffen an den beiden schon stehenden Stangen befestigt.

Schritt 2: Für den ersten Aufbau wird noch eine zusätzliche Metallstange benötigt, welche nur die halbe Länge der Verbindungsstange benötigt. Diese wird ebenfalls mit einer Muffe an einer der seitlichen Stangen auf niedriger Höhe befestigt.

Schritt 3: Vor dem Einbau müssen die Federkraftmesser zunächst kalibriert werden. Dies gilt insbesondere für die oberen Federkraftmesser im bereits hängenden Zustand. Dazu werden sie in die benötigte Postion gehalten und so eingestellt, dass auf ihnen 0 N angezeigt wird.

Schritt 4: Zur Befestigung der Federkraftmesser werden zwei Hakenklemmen an der oberen Verbindungsstange, und eine an der unteren waagrechten Stange angebracht. Es eignet sich Federkraftmesser mit farblich unterstützter Skala zu nutzen, da dies die Sichtbarkeit erhöht. Nun müssen die Federkraftmesser nur noch eingespannt werden und mittels Metallring verbunden werden.

Schritt 5: Für den zweiten Aufbau wird die untere waagrechte Stange nicht mehr benötigt. An die oberen beiden Hakenklemmen werden nun jeweils die Umlenkrollen befestigt. Über diese wird anschließend ein Faden gespannt, welcher an beiden Enden, sowie in der Mitte zwischen den beiden Rollen mit Massestücken versehen wird. Die Massestücke, sowie die Entfernung der Rollen, sind so zu wählen, dass ein Gleichgewichtszustand eintritt.

Versuchsdurchführung

Es bietet sich an bei beiden Aufbauten mit dem 90°-Winkel zu beginnen. Bei dem Versuchsaufbau mit den Massestücken kann der Aufbau durch die Variation der Position der Umlenkrollen oder der Anzahl der angehängten Massen verändert werden. Bei dem anderen Versuchsaufbau können mithilfe der Haken einfach die Positionen der Federkraftmesser verändert werden.

Auswertung

Aufbau mit Massestücken:

Bei diesem Versuchsaufbau können die Längen der Kraftvektoren nicht direkt abgelesen werden. Die Längen müssen zunächst über die Formel $F=m\cdot g$ berechnet werden. Dabei ist g der Ortsfaktor.

$\alpha =90^{\circ }$: Für einen eingestellten Winkel von $\alpha =90^{\circ }$ und den beiden Kräften $F_{1}=3\cdot 0,05\,{\text{kg}}\cdot 9,81\,{\text{N/kg}}=1,47\,{\text{N}}$ und $F_{2}=4\cdot 0,05\,{\text{kg}}\cdot 9,81\,{\text{N/kg}}=1,96\,{\text{N}}$ ergibt sich mit Formel (4) eine resultierende Kraft von $F_{res}=2,45\,{\text{N}}$ . In unserem Aufbau wurden für die resultierende Kraft fünf Massestücke a 50 g verwendet. Das entspricht einer Kraft von $F=2,45N$ . Damit ergeben sich rechnerisch und experimentell die gleichen Werte.

Aufbau mit Federkraftmessern:

Bei diesem Aufbau können die wirkenden Kräfte direkt an den Federkraftmessern abgelesen werden.

$\alpha =90^{\circ }$: Die beiden oberen Federmesser geben einen Wert von $F_{1}=1,0\,{\text{N}}$ und $F_{2}=1,0\,{\text{N}}$ an. Daraus lässt sich mit Formel (4) die resultierende Kraft berechnen zu $F_{res}=1,41\,{\text{N}}.$

Der Federkraftmesser der resultierenden Kraft zeigt hier hingegen eine Kraft von $F_{res}=1,8\,{\text{N}}$ an. Hier muss also nochmal nachjustiert werden um ein besseren Ergebnis zu erhalten.

Fehlerabschätzung

Durch das fehlende Eichen der Federkraftmesser entsteht ein systematischer Fehler, der einfach verhindert werden kann. Das ungenaue Bestimmen bzw. Einstellen des Winkels zwischen den beiden Kräften $F_{1}$ und $F_{2}$ kann ebenfalls zu Abweichungen im Ergebnis führen.

Sicherheitshinweise

Verletzungsgefahr durch umkippende Versuchsaufbauten und sich lösende Teile. Es bietet sich daher an den Versuch am Tisch zu befestigen.

Fotos

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    Versuchsaufbau mit Massestücken.
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     Versuchsaufbau mit Federkraftmessern.

Universität Stuttgart, 5. Physikalisches Institut, AG Physik und ihre Didaktik, lizenziert unter CC BY-NC-SA 4.0

↑ H. Schecker, T. Wilhelm, M. Hopf, R. Duit (Hrsg.) (2018). Schülervorstellungen und Physikunterricht. Ein Lehrbuch für Studium, Referendariat und Unterrichtspraxis. Berlin: Springer-Verlag GmbH.

[1] H. Schecker, T. Wilhelm, M. Hopf, R. Duit (Hrsg.) (2018). Schülervorstellungen und Physikunterricht. Ein Lehrbuch für Studium, Referendariat und Unterrichtspraxis. Berlin: Springer-Verlag GmbH.

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EXP

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